Proyecto cooperativo: construcción de una maqueta.

El objetivo de esta actividad será construir una maqueta que represente los planos proyectantes vertical, horizontal y de perfil, donde se proyectarán diferentes formas geométricas (puntos, rectas y plano).  Tras la construcción de la maqueta, se  procederá a la simulación del abatimiento de los planos proyectantes (perfil y horizontal) para la representación de los elementos del espacio en el Sistema Diédrico Ortogonal. Para ello se utilizará   una lámina  tamaño  A2 sobre la  que se situarán  las proyecciones de los diferentes elementos representados en la maqueta.  Sobre los planos proyectantes se trazará una cuadricula (1 cm x 1 cm)  en los planos proyectantes de la maqueta y  de  la cartulina,  con la finalidad de identificar y representar a escala  las diferentes cotas y alejamientos de los puntos.  Los recursos materiales necesarios para esta actividad serán:

•          Cartón pluma para la construcción de planos proyectantes.
•         Alfileres  y cola  como elementos de fijación de los  diferentes  elementos.
•          Hilos de diferentes grosores y colores.
•          Alfileres con cabeza gruesa de color  para representar las proyecciones de los puntos.
•          Palitos de madera para representar las cotas de los puntos.
•          Lápiz , bolígrafos de diferentes colores,
•          Lamina   tamaño A2.
•          Paralex, escuadra, cartabón y regla.
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Representación del plano.

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Plano. Sistema diédrico. 

Un plano puede ser definido por: tres puntos no alineados, un punto y una recta, dos rectas que se cruzan y dos rectas paralelas. 

Rectas y puntos contenidos en el plano. 

Una recta pertenece a un plano o está contenida en un plano, si las trazas de la recta coinciden con las trazas homónimas del plano.

Para que un punto este contendido en el plano ,tiene que contener a una recta de ese plano. 

Alfabeto del plano. 

Plano horizontal

Es el que tiene su traza vertical paralela a la línea de la tierra, por tanto, es paralelo al PH y perpendicular al PV.

Plano de canto o perpendicular al plano vertical de proyección

Este plano tiene su traza horizontal perpendicular a la línea de tierra, dado que el perpendicular al PV, aunque la vertical puede adoptar cualquier dirección.

Plano vertical o perpendicular al plano horizontal de proyección

Es un plano perpendicular al PH, por tanto, su traza vertical  es perpendicular a la línea de tierra, mientras  la horizontal puede situarse en cualquier posición. 

Plano frontal

Este plano es paralelo al PV, por tanto, perpendicular al PH y eso propicia que su traza horizontal sea paralela a la linea de tierra. 

Plano paralelo a la línea de tierra

Plano que pasa por la linea de tierra

Es un plano que tiene sus dos trazas  paralelas a la linea de tierra.

Plano perfil o perpendicular a los dos planos de proyección

Este plano tiene sus trazas paralelas a la linea de tierra, dado que es un plano vertical a los dos planos de proyección. 

Recta horizontal y frontal del plano.

Una recta Horizontal contenida en un plano tiene su proyección vertical paralela a LT y su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. 

Una recta Vertical contenida en un plano tiene su proyección horizontal paralela a LT y su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano

Representación de la recta y sus puntos traza.

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La recta. Puntos traza.

 Dos puntos en el espacio determinan una recta . Por eso, para representarla en sistema diédrico, será suficiente con conocer dos puntos cualesquiera de ella.

Los puntos traza de la recta son los puntos de intersección  de la recta con los planos de proyección. La traza vertical de la recta se denomina V y la horizontal H.

La traza horizontal se obtiene prolongando su proyección vertical  (r2) hasta que corte la LT en el punto h2.

La traza vertical se obtiene prolongando su proyección horizontal  (r1) hasta que corte la LT en el punto V1.  

Estudio de la visibilidad de la recta y corte con los planos bisectores.

Una recta sin condiciones especiales (dibujada al azar) corta a los dos Planos Bisectores en dos puntos (M y N).

Para localizar los puntos donde una recta corta a los Bisectores es suficiente con localizar los puntos de dicha recta que tienen igual cota que alejamiento. 

Para saber a  qué cuadrante pertenece cada zona hay que fijarse en las trazas.  Solo es visible la zona que está en el primer diedro. 

Alfabeto de la recta.

Recta horizontal 

Esta recta  es paralela al PH y oblicua al PV, todos sus puntos se hallan a la misma altura, de ahí que su proyección horizontal sea paralela a la linea de tierra, y no tenga traza con el PH. 

Recta frontal 

Esta recta es paralela  al PV, por ello no tiene  traza con él, y oblicua  al PH. Al tener todos  sus puntos  igual alejamiento, su proyección horizontal  es paralela a la LT. 

Recta de punta 

Es la recta que es perpendicular al PV y, por tanto,  paralela al PH.  La proyección horizontal  de esta recta es perpendicular  a la linea de tierra, siendo un punto su representación sobre el PV. 

Recta vertical 

Es la recta  que es perpendicular al PH y paralela PV. Su proyección vertical es  perpendicular a la línea de tierra, y la horizontal es un punto. 

Recta paralela a la linea de tierra

Esta recta  es paralela simultáneamente al PV y al PH, por tanto, su proyección horizontal  y la vertical son paralelas a la línea de tierra. Esto hace que no tenha  trazas con los planos de proyección.

 Recta que corta a la linea de tierra
La característica más importante  que presenta  esta recta es que sus trazas, horizontal y vertical, coinciden en un mismo punto de la línea de tierra. 

Recta oblicua  a los planos de proyección (o cualquiera)
Esta recta como su nombre indica es oblicua a los planos de proyección, por esta razón tiene una traza horizontal y otra vertical. 

Recta contenida en el primer bisector
Estas rectas se caracterizan porque todos sus puntos  tienen cota y alejamiento iguales, por tanto, sus proyecciones son simétricas respecto a la línea de tierra y, además, pueden o no cortarla. 

Tercera proyección. Recta de perfil. 

Posición relativa de la recta
Dos rectas en el espacio pueden estar contenidas en un plano, o no. 
Si están  contenidos pueden ser paralelas si no se cortan, y perpendiculares u oblicuas si así lo hacen. 
Si no están contenidas  en dicho plano,  las rectas se cruzan. 

• Rectas que se cortan: si dos rectas se cortan en el espacio, tienen un punto en común que, al pertenecerlas, tendrá sus dos proyecciones  en una misma perpendicular, o línea de referencia. 

• Rectas que se cruzan: son rectas que no están contenidas en un plano, que no tienen ningún punto en común y que tampoco son paralelas entre sí. 

• Rectas paralelas

Ejercicios.

EJERCICIOS

Sobre papel blanco formato A4  dibuja a lápiz los siguientes ejercicios, teniendo en cuenta que la unidad de medida es le milímetro.

Ejercicio1. (Actividad I)

A) P (120,-75,75)

B) P (30,20,-80)

D) P(55,-50,-70)

C) P(55,-50,-70)

Ejercicio 2.  (Actividad II. Trazado de una recta dada dos puntos)

Por los puntos P (51, -40, -40) y R (162, 87,87) determina la recta que pasa por ambos y sus puntos traza.

Ejercicio 3.  (Actividad II. Trazado de una recta y sus puntos traza)

Por los puntos A (30, 19, -77) y B (164, 90, 35) determina la recta que pasa por ambos. Determina sus puntos traza , los cuadrantes que atraviesa y estudia la  visibilidad.

Ejercicio 4.  (Actividad II. Alfabeto de la recta)

Halla sobre la recta horizontal s  un punto P con alejamiento de 20 mm.

Determina las coordenadas de otro punto R contenido en la recta s. Estudia la visibilidad de la recta.  

Ejercicio 5.  (Actividad II. Alfabeto de la recta)

Dada un punto P(51,93,106), determina una recta frontal s que pase por éste.

Determina otro punto R de la recta e indica sus coordenadas.

Ejercicio 6.  (Actividad II. Alfabeto de la recta)

Dados los puntos P (51,90,80) y R (163,90,80) dibuja la recta s que pasa por ambos, determina las trazas y  por que cuadrante pasa, y haz un estudio de visibilidad

Ejercicio7.  (Actividad II. Alfabeto de la recta)

Dados los puntos P (52,76, 30) y R (52,44,30) dibuja la recta s que pasa por ambos, determina las trazas y haz un estudio de visibilidad indicando en que puntos  corta a los bisectores y por que cuadrantes pasa.

Ejercicio 8.  (Actividad IV. Representación del plano)

En un plano oblicuo, situa un punto de 90 mm de cota. Determina las coordenadas del punto.

Ejercicio 9.  (Actividad II. Tercera proyección. Recta de perfil)

Dados el punto   P(105, 121,-28) y  la  traza vertical, determina la recta s y  las coordenadas de un punto R contenido en ésta

Ejercicio 10.  (Actividad IV. Representación del plano)

En un plano vertical,  situa una recta recta  vertical r 

Ejercicio 11.  (Actividad IV. Representación del plano)

Hallar las trazas en sistema diédrico de una plano de canto definido por una recta frontal r.

Representación del punto

El sistema de representación más usado dentro de la industria y del diseño es el Sistema Diédrico Ortogonal.

Se distingue del resto de sistemas ortogonales en que se muestran  simultáneamente los objetos en dos planos de proyección perpendiculares entre sí, denominados plano horizontal (PH) y vertical (PV). La intersección de estos planos es una recta: línea de tierra (LT), representada mediante una línea recta con dos pequeños trazos situados en la parte inferior y en los extremos.

Estos planos dividen el espacio en cuatro cuadrantes o diedros.

Bisectores 

Son dos planos  que dividen los cuadrantes  en dos mitades iguales. Ambos bisectores se cortan en LT y forman 90º entre ellos, y 45 º con PV y PH.

Los bisectores dividen el espacio en 8 octantes.

Coordenadas de un punto en Sistema diédrico. 

Para situar a los  puntos se utilizan coordenadas.

El nombre de las distintas coordenadas es:

·         Lateralidad (X): situación del punto (derecha e izquierda) respecto a la línea de tierra.

·         Alejamiento (Y): distancia entre el punto y PV

·         Cota (Z): distancia entre el punto y PH.

Un punto siempre se sitúa de la siguiente manera: P(X,Y, Z)

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Origen Sistema Diédrico

Gaspard Monge inventó su sistema gráfico como método de cálculo para el diseño de fortificaciones frente a ataques de artillería, así se podía calcular la forma más de adecuada de la planta de la fortificación, así como las posiciones de las piezas de defensa para evitar que las piezas de los atacantes, normalmente más pequeñas, no pudieran alcanzar los muros de la fortificación.

Además el  mismo sistema diédrico era un eficaz instrumento  de cálculo para determinar el ángulo de tiro del atacante para alcanzar puntos vitales de la fortificación.

Este sistema de representación suponía una ventaja tan grande que Monge no lo publicó en su Geomotrié Descriptive hasta 1799, quedando hasta entonces su conocimiento reducido a la academia militar donde impartía clase.

 Figura 1. Origen del Sistema diédrico o  de Monge como calculadora de tiro.